\subsection{圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系}\label{subsec:czjh2-7-4}

如图 \ref{fig:czjh2-7-16} 甲 ，在 $\yuan\,O$ 上任取一点 $A$，作直径 $AB$，则 $OA = OB$。
就是说，点 $B$ 是点 $A$ 关于点 $O$ 的对称点。
因此，\zhongdian{圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-16-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-16-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-16}
\end{figure}

圆不仅是中心对称图形：绕圆心旋转 $180^\circ$ 后能够与原来的图形重合，并且它还有另外一个重要性质。
如图 \ref{fig:czjh2-7-16} 乙中，让圆绕中心 $O$ 旋转任意一个角度 $\alpha$， 圆上任意一点 $A$ 都能够与圆上一点 $B$ 重合。
因此，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
利用这个性质，我们还可以推出圆的其他一些性质。

顶点在圆心的角叫做\zhongdian{圆心角}。 从圆心到弦的距离叫做\zhongdian{弦心距}。
现在用上面的性质来研究在同一个圆中，圆心角、圆心角所对的弦、弧、弦心距相互之间的关系。

如图 \ref{fig:czjh2-7-17} $\yuan\,O$ 中，当圆心角 $\angle AOB = \angle A'OB'$ 时，
它们所对的弧 $\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{A'B'}$、弦 $AB$ 和 $A'B'$、
弦心距 $OM$ 和 $OM'$ 是否也相等呢？

我们把 $\angle AOB$ 连同 $\yuanhu{AB}$ 绕圆心 $O$ 旋转，使射线 $OA$ 与 $OA'$ 重合。

$\because$ \quad $\angle AOB = \angle A'OB'$，

$\therefore$ \quad  射线 $OB$ 与 $OB'$ 重合。

又$\because$ \quad  $OA = OA'$， $OB = OB'$，

$\therefore$ \quad 点 $A$ 和点 $A'$ 重合，点 $B$ 与点 $B'$ 重合。

这样，$\yuanhu{AB}$ 与 $\yuanhu{A'B'}$ 重合， $AB$ 与 $A'B'$ 重合，
从点 $O$ 到 $AB$ 的垂线段 $OM$ 和点 $O$ 到 $A'B'$ 的垂线段 $OM'$ 也重合。即
$$ \yuanhu{AB} = \yuanhu{A'B'} \douhao  AB = A'B' \douhao  OM = OM' \juhao $$

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-17}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-17}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-18}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-18}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-19}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-19}
    \end{minipage}
\end{figure}

上面的结论，在两个等圆中也成立。于是有下面的定理：

\begin{dingli}[定理]
    在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
\end{dingli}

由上面的定理，可以得到下面推论：

\begin{tuilun}[推论]
    在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
    那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
\end{tuilun}

我们知道，把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的圆心角是 $1^\circ$ 的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份。
我们把每一份这样的弧叫做 \zhongdian{$\bm{1^\circ}$ 的弧}。

由上述定义可知， $1^\circ$ 的圆心角对着 $1^\circ$ 的弧， $1^\circ$ 的弧对着 $1^\circ$ 的圆心角。
一般地， $n^\circ$ 的圆心角对着 $n^\circ$ 的弧， $n^\circ$ 的弧对着 $n^\circ$ 的圆心角（图 \ref{fig:czjh2-7-18}）。
也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。


\liti[0] 如图 \ref{fig:czjh2-7-19}， $AB$、$DE$ 是 $\yuan\,O$ 的直径， $AC \pingxing DE$，交 $\yuan\,O$ 于点 $C$。

求证：  $BE = EC$。

\zhengming 在 $\yuan\,O$ 中，

$\left.\begin{aligned}
    \angle AOD = \angle BOE  \tuichu \yuanhu{AD} = \yuanhu{BE} \\
    AC \pingxing DE  \tuichu \yuanhu{AD} = \yuanhu{EC}
\end{aligned}\right\}  \tuichu \yuanhu{BE} = \yuanhu{EC}  \tuichu  BE = EC \juhao$


\begin{lianxi}

\xiaoti{如图，$\yuan\,O$ 的弦 $AB > CD$， $AB$、$CD$ 的弦心距分别为 $OM$ 和 $ON$。
    求证：$OM < ON$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec4-lx-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec4-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{设 $O$ 是 $\angle EPF$ 的平分线上的一点，以 $O$ 为圆心的圆和角的两边分别相交于 $A$、$B$
    和 $C$、$D$。求证： $AB = CD$。
}

\xiaoti{（口答）在半径不等的 $\yuan\,O$ 和 $\yuan\,O'$ 中， $\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{A'B'}$
    所对的圆心角都是 $60^\circ$。
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{A'B'}$ 各是多少度？}

    \xxt{$\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{A'B'}$ 相等吗？}

\end{xiaoxiaotis}


\end{lianxi}